変形三択問題

『「3囚人問題」と「のび太の三択」』（faireal.net）を読んで
http://www.faireal.net/articles/9/14/#d50301

　モンティ・ホール問題に囚われている。「三つの扉、三枚の封筒」「三囚人問題の図解」と私のブログに書いてきたのだが、いまだにウィキペディアの解説のような一般的な解説が正しいかどうかジレンマに陥ったままである。そんな状態で上記のサイトを読んだら、分かりやすく、ますます正しいように思えてきた。しかし上記のサイトの「まとめ」には次のように書いてある。

今回の説明は人によっては分かりにくかったかもしれません。 じつは、数学的には、今回の説明は、良くないのです。 この考え方では似たような別の問題での応用がきかないからです。

そして応用がきくような、本格的な理解の仕方も、じつは、そんなに難しくありません。 むしろ、そっちの説明をきいたほうが、さらにすっきりするかもしれないくらいです。 そして、本格的な考え方で取り組むと、3囚人問題に「問題としてあいまい」「ちょっと出題ミスみたい」な部分があることまで、 くっきり分かります。

それについては「変形3囚人問題」という話題と合わせて、問題を一般化しながら、次回以降にお話したいと思います。

　『数学的には、今回の説明は、良くないのです』とある。それで「変形三囚人問題」の説明を読もうとしたのだけど見つからなかった。仕方がないので「のび太の三択」問題を「変形三囚人問題」のように変えて考えてみる。選択の変更ができるので「変形モンティ・ホール問題」のように変えたと言った方が良いかもしれない。冒頭のサイトで紹介されている問題は次の通りである。

問題: 次の語句はどういう意味ですか。いちばん近いと思うものをA、B、Cの中から選びなさい。

春子さんがそんなことを言うなんてかたはらいたい。

A. せつなくて、そばにいてあげたい気分だ。

B. 肩がこるうえ、笑い過ぎて腹筋が痛い。

C. とてもばかばかしく、あきれてしまう。

　恥ずかしながら私は広辞苑で調べるまでは正解が分からなかった。しかし、なんとなくＣではないかと思っていた。どのくらいの確率かというとＣが１／２、ＡとＢが１／４くらいである。それは嘘であるが、ここではそのように設定して考える。このように、選択問題では全く分からないということはなくて「なんとなくこれが正解かな」と思うことがあるだろう。その状態でヒントをもらう。どれが正解だかまったく見当がつかなかったのび太は「ＢとＣのどっちが間違ってるか教えてよ」と聞く。では「正解はＣではないか」と見当がついている場合（Ｃが正答の確率は１／２、Ａが１／４、Ｂが１／４）はどのように質問するだろうか。

（１）「ＢとＣのどっちが間違ってるか教えてよ」
（２）「ＡとＢのどっちが間違ってるか教えてよ」

　消去法で「間違っている」と思われるものを減らそうとして（２）の聞き方をする人がいるかもしれない。どうやら（１）のように聞いた方が良いらしい。（１）と（２）の違いを「考えることの科学」（市川伸一著、中公新書）で知った図を使って確認してみる。

　（１）の聞き方をした場合、「Ｂは間違ってるよ」というヒントがもらえるとＣが正答である確率が４／５に増える。それに対し（２）の聞き方をした場合、「Ｂは間違ってるよ」というヒントをもらってもＣが正答である確率は１／２のままである。（１）の質問をしてヒントをもらった方が安心できる。
　図からは次のことも分かる。
　（１）の聞き方をした場合、「Ｃは間違ってるよ」というヒントがもらえたらＣが正答である確率は０である。ＡかＢを選ばなければならない。Ａが正答である確率は１／３でＢが正答である確率は２／３だから、Ｂを選んだ方が良いことになる。それに対し（２）の聞き方をした場合、「Ａは間違ってるよ」というヒントをもらってもＣが正答である確率は１／２のままで、Ｂが正答である確率も１／２である。（１）の聞き方をした方が正解する確率が上がる。

　さて、モンティ・ホール問題の一般的な解説のどこに問題があるかだが、まだ分からない。引き続き考えたい。

追記：
　四択問題で考えてみた。

問題：２００６年の敬老の日は何月何日か？

Ａ：９月１０日
Ｂ：９月１１日
Ｃ：９月１５日
Ｄ：９月１８日

　今度はどれが正解か全く見当がつかないと仮定する。どのように質問してヒントをもらうだろうか？　次の２つを検討した。

（１）ＢとＤのうち間違ってる答を教えてください。
（２）ＢとＣとＤのうち間違ってる答を教えてください。

　どの答が正解でも、間違っている答が複数あったら、間違っている答の中から同じ確率で間違っている答を教えると仮定する。
　「Ｂは間違ってるよ」という答が返ってきたときのＤが正解である確率を求めるための図は次のようになる。

　（１）の質問をして「Ｂは間違ってるよ」という答が返ってきたら、Ｄが正解である確率は１／２になる。もともとは１／４だったから倍に増えた。（２）の質問をして「Ｂは間違ってるよ」という答が返ってきたら、Ｄが正解である確率は３／８である。もともとの確率１／４よりは増えたが（１）の１／２よりは小さい。（１）の質問の方が良いことになる。（１）の質問ではＡ、Ｃ、Ｄの選択肢が残り、それぞれの確率が１／４、１／４、１／２だから、上記の変形三択問題に変わる。さらに質問するときは「ＣとＤのうち間違ってる答を教えてください」である。
　これに関しては少し自信がないので間違っていたら教えて下さい。

追記（2006/9/5）：
　ウィキペディアの解説に次のような例題が載っている。

また、ドアが3個ではなく100個である場合を考えるとより直感的に分かりやすくなるだろう。プレイヤーが一つのドアを選んだのち、モンティは後ろにヤギのいる98個のドアを開ける。明らかに、モンティが開けなかったもう一つのドアに景品がある可能性が極めて高い（正確には 99/100）。

　ドアが１００個の場合を図示するのは難しいので、４個の場合（ただし上の追記の例題）を図示すると次のようになる。

　Ｄが正解の確率は３／４である。
　選択肢が１００個に増えた場合、「Ａが○」の確率は１／１００になる。扇の幅が１周の１／１００になる。また、１００個目の選択肢、図に合わせてＤとするが、そのＤの確率「Ｄが○」の確率も１／１００（扇の幅が１周の１／１００）になる。他の選択肢の確率も同じである。さて、Ａ以外の９９の選択肢のうち、Ｄ以外の９８の選択肢が「×」だと教えてもらったとする。すると確率を計算する分母は「Ａが○」の領域の１／９９の部分（９９の選択肢のどれを残すかか同じ確率だとする）と「Ｄが○」の領域だけになる。分子は「Ｄが○」の領域である。「Ｄが○」の領域は『「Ａが○」の領域の１／９９の部分』の９９倍である。９８個のドアが開けられた後の「Ｄが○」の確率は９９／１００である。図における扇の面積の比率から容易に答が分かる。
　この件に隠してもウィキペディアの解説の問題点が見つけられなかった。

追記（2006/9/5）：
　図書館で「確率の理解を探る〜３囚人問題とその周辺〜」（市川伸一著、共立出版）を借りてパラパラと見てみた。「モンティ・ホールのジレンマ（３ドア問題）」は載っていたが、残念ながらウィキペディアの「モンティ・ホール問題」と同じ解放は載ってなさそう。だからその解放の問題点も解説されてなさそう。ウィキペディアの「モンティ・ホール問題」の解き方ではＡが釈放される確率は１／４でＣが釈放される確率は３／４になる。正解はＡが釈放される確率は１／５でＣが釈放される確率は４／５である。ちなみに、モンティ・ホール問題を巡る論争のきっかけになったＩＱ１８０らしいマリリン女史の解法は「内容的にはベイズ解に沿ったものであった」らしい。そして「数学パズルの解説者として有名なマーチン・ガードナー氏」が１９９２年に「マリリン女史の解答の妥当性を解説している」らしく、それで「いちおう落着した形になっている」らしい。マーチン・ガードナー氏の解説が見たくなった。

追記（2006/9/6）：
　続きを書いた。→【三囚人問題と変形三囚人問題】

タグ：モンティ・ホール問題 ３囚人問題 ベイズの定理 確率 認知心理学