モンティ・ホール問題:補足2
私のブログ記事の中では【モンティ・ホール問題】へのアクセスが非常に多く、アクセス解析を見ると、ほぼ毎日誰かに閲覧されている。関連するその他の記事へのアクセスもある。アクセスがあると私も気になり、ネットで検索して、良い解法はないものかと探すことがある。そして先日、興味深い解法を見つけた。
【Monty Hall 問題 - Lectures by Nakao Y】は一見よくある解法だが、次の部分に興味を持った。
このことを分かりやすくするために,3枚のカードを考えよう。1枚の裏には当たりのリンゴマーク,他の2枚の裏には外れの爆弾マークが描かれている。当たりのカードを A,外れのカードを B と C とする。もちろん,回答者にはどれか当たりのカードかは分からず,逆に司会者はどれが当たりかを知っているとしよう。
さて,司会者は「自分がめくるカード」を以下のようにあらかじめ決めている。
(Monty Hall 問題 - Lectures by Nakao Y)
- 回答者が最初 A(当たり)を選んだ場合,C(外れ)をめくる。
- 回答者が最初 B(外れ)を選んだ場合,C(外れ)をめくる。
- 回答者が最初 C(外れ)を選んだ場合,B(外れ)をめくる。
『回答者が最初 A(当たり)を選んだ場合,C(外れ)をめくる。』と決めているところが珍しい。通常は、1/2の確率でBをめくり、1/2の確率でCをめくることにして解く。間違いではないのだが、説明不足のように感じられ、考察するのに便利である。以下に考察した過程を書くが、分かりやすく書くつもりはないのでご容赦を。
例えば次のケースを考えてみる。
- [?][?][?]:3枚のカード(裏はA,B,C)がある。
- [?][+][?]:回答者が1枚を選択する。
- [C][+][?]:司会者がCをめくる。
司会者がCをめくったので残りのカードはAかBである。回答者の選択と司会者がめくるカードの関係は(A→C)(B→C)(C→B)の3種類しかなく、司会者がCをめくるのは(A→C)(B→C)の2通りだけで、回答者が最初にAを選ぶ確率とBを選ぶ確率は等しいので、司会者がCをめくったのなら、回答者が最初に選んだカードがAである確率は 1/2 である。選択を変えても変えなくても同じである。
- [?][?][?]:3枚のカード(裏はA,B,C)がある。
- [?][+][?]:回答者が1枚を選択する。
- [B][+][?]:司会者がBをめくる。
司会者がBをめくったので残りのカードはAかBであるが、回答者の選択と司会者がめくるカードの関係は(A→C)(B→C)(C→B)の3種類しかなく、司会者がBをめくるのは(C→B)の1通りだけなので、司会者がBをめくったのなら、回答者が最初に選択したカードはCである。Aである確率は 0 である。選択を変えれば確実に(100%)当たる。
【Monty Hall 問題 - Lectures by Nakao Y】に書いてある結論と違う。
実は回答者には司会者がめくったカードがBかCか分からないのである。たぶんカードの裏には爆弾マークが書いてあるだけで、カードの位置で判別するとしても、どちらがBでどちらがCかは司会者の心を読まないと分からないだろう。分かったことを前提にして解いたから異なった回答になった。では、分からないことを前提にしたらどうなるか。
- [?][?][?]:3枚のカード(裏はA,B,C)がある。
- [?][+][?]:回答者が1枚を選択する。
- [×][+][?]:司会者がAでない1枚をめくる。
司会者がCをめくったのなら、ケース1のように回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/2 である。司会者がBをめくったのなら、ケース2のように回答者が最初に選択したカードがAである確率は 0 である。回答者の選択と司会者がめくるカードの関係は(A→C)(B→C)(C→B)の3種類しかなく、回答者が最初にAを選ぶ確率とBを選ぶ確率とCを選ぶ確率は 1/3 で等しいので、司会者がCをめくる確率は 2/3 でBをめくる確率は 1/3 である。だから、回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/3 (∵(2/3)(1/2)+(1/3)(0)=1/3)である。回答者が最初に選択したカードがAでない確率が 2/3 と高いので、残りの1枚に変えた方が良い。
これで【Monty Hall 問題 - Lectures by Nakao Y】に書いてある結論と同じになった。
通常は『回答者が最初 A(当たり)を選んだ場合,C(外れ)をめくる。』と仮定せず、1/2の確率でBをめくり、1/2の確率でCをめくることにして解く。そこで、次のように問題を変えて考察する。
3枚のカードを考えよう。1枚の裏には当たりのリンゴマーク,他の2枚の裏には外れの爆弾マークが描かれている。当たりのカードを A,外れのカードを B と C とする。もちろん,回答者にはどれか当たりのカードかは分からず,逆に司会者はどれが当たりかを知っているとしよう。
さて,司会者は「自分がめくるカード」を以下のようにあらかじめ決めている。
- 回答者が最初 A(当たり)を選んだ場合,1/2 の確率でB(外れ)をめくり、1/2 の確率でC(外れ)をめくる。
- 回答者が最初 B(外れ)を選んだ場合,C(外れ)をめくる。
- 回答者が最初 C(外れ)を選んだ場合,B(外れ)をめくる。
司会者がめくるカードの仮定を変えた状態で次のケースを考えてみる。
- [?][?][?]:3枚のカード(裏はA,B,C)がある。
- [?][+][?]:回答者が1枚を選択する。
- [C][+][?]:司会者がCをめくる。
司会者がCをめくったので残りのカードはAかBである。回答者の選択と司会者がめくるカードの関係は(A→B)(A→C)(B→C)(C→B)の4種類だが、回答者が最初にAを選ぶ確率とBを選ぶ確率とCを選ぶ確率は 1/3 で等しく、回答者が最初にAを選んだ場合に司会者がBをめくる確率とCをめくる確率は 1/2 で等しいので、(A→B)(A→C)(B→C)(C→B)の確率は、それぞれ、1/6,1/6,1/3,1/3 である。司会者がCをめくるのは(A→C)(B→C)の2通りだけで、それぞれの確率は 1/6,1/3 なので、回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/3 (∵(1/6)/{(1/6)+(1/3)}=1/3)である。回答者が最初に選択したカードがAでない確率(Bである確率)、すなわち残りの1枚がAである確率が 2/3 と高いので、残りの1枚に変えた方が良い。
- [?][?][?]:3枚のカード(裏はA,B,C)がある。
- [?][+][?]:回答者が1枚を選択する。
- [B][+][?]:司会者がBをめくる。
司会者がBをめくったので残りのカードはAかCである。回答者の選択と司会者がめくるカードの関係は(A→B)(A→C)(B→C)(C→B)の4種類だが、回答者が最初にAを選ぶ確率とBを選ぶ確率とCを選ぶ確率は 1/3 で等しく、回答者が最初にAを選んだ場合に司会者がBをめくる確率とCをめくる確率は 1/2 で等しいので、(A→B)(A→C)(B→C)(C→B)の確率は、それぞれ、1/6,1/6,1/3,1/3 である。司会者がBをめくるのは(A→B)(C→B)の2通りだけで、それぞれの確率は 1/6,1/3 なので、回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/3 (∵(1/6)/{(1/6)+(1/3)}=1/3)である。回答者が最初に選択したカードがAでない確率(Cである確率)、すなわち残りの1枚がAである確率が 2/3 と高いので、残りの1枚に変えた方が良い。
- [?][?][?]:3枚のカード(裏はA,B,C)がある。
- [?][+][?]:回答者が1枚を選択する。
- [×][+][?]:司会者がAでない1枚をめくる。
司会者がCをめくったのなら、ケース4のように回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/3 である。司会者がBをめくったのなら、ケース5のように回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/3 である。回答者の選択と司会者がめくるカードの関係は(A→B)(A→C)(B→C)(C→B)の4種類だが、回答者が最初にAを選ぶ確率とBを選ぶ確率とCを選ぶ確率は 1/3 で等しく、回答者が最初にAを選んだ場合に司会者がBをめくる確率とCをめくる確率は 1/2 で等しいので、(A→B)(A→C)(B→C)(C→B)の確率は、それぞれ、1/6,1/6,1/3,1/3 である。司会者がCをめくる確率は 1/2 (∵(1/6)+(1/3)=1/2)でBをめくる確率は 1/2 (∵(1/6)+(1/3)=1/2)である。だから、回答者が最初に選択したカードがAである確率は 1/3 (∵(1/2)(1/3)+(1/2)(1/3)=1/3)である。回答者が最初に選択したカードがAでない確率が 2/3 と高いので、残りの1枚に変えた方が良い。
ケース4、ケース5、ケース6の全てが【Monty Hall 問題 - Lectures by Nakao Y】に書いてある結論と同じになった。
数式を使って一般化してみる。
まずは、問題文で与えられている確率。
- P(A):回答者が最初に選択したカードがAである確率(通常は 1/3)
- P(B):回答者が最初に選択したカードがBである確率(通常は 1/3)
- P(C):回答者が最初に選択したカードがCである確率(通常は 1/3)
- P("-A"|A):回答者がAを選択した後に司会者がAをめくる確率(通常は 0)
- P("-B"|A):回答者がAを選択した後に司会者がBをめくる確率(ケース1~3では 0、ケース4~6では 1/2)
- P("-C"|A):回答者がAを選択した後に司会者がCをめくる確率(ケース1~3では 1、ケース4~6では 1/2)
- P("-A"|B):回答者がBを選択した後に司会者がAをめくる確率(通常は 0)
- P("-B"|B):回答者がBを選択した後に司会者がBをめくる確率(通常は 0)
- P("-C"|B):回答者がBを選択した後に司会者がCをめくる確率(通常は 1)
- P("-A"|C):回答者がCを選択した後に司会者がAをめくる確率(通常は 0)
- P("-B"|C):回答者がCを選択した後に司会者がBをめくる確率(通常は 1)
- P("-C"|C):回答者がCを選択した後に司会者がCをめくる確率(通常は 0)
次に問題文で与えられている確率から導き出せる確率。
- P("-A"):司会者がAをめくる確率(=P(A)P("-A"|A)+P(B)P("-A"|B)+P(C)P("-A"|C))
- P("-B"):司会者がBをめくる確率(=P(A)P("-B"|A)+P(B)P("-B"|B)+P(C)P("-B"|C))
- P("-C"):司会者がCをめくる確率(=P(A)P("-C"|A)+P(B)P("-C"|B)+P(C)P("-C"|C))
- P(A|"-A"):司会者がAをめくったと知った後の、回答者がAを選択していた確率(=P(A)P("-A"|A)/P("-A"))
- P(B|"-A"):司会者がAをめくったと知った後の、回答者がBを選択していた確率(=P(B)P("-A"|B)/P("-A"))
- P(C|"-A"):司会者がAをめくったと知った後の、回答者がCを選択していた確率(=P(C)P("-A"|C)/P("-A"))
- P(A|"-B"):司会者がBをめくったと知った後の、回答者がAを選択していた確率(=P(A)P("-B"|A)/P("-B"))
- P(B|"-B"):司会者がBをめくったと知った後の、回答者がBを選択していた確率(=P(B)P("-B"|B)/P("-B"))
- P(C|"-B"):司会者がBをめくったと知った後の、回答者がCを選択していた確率(=P(C)P("-B"|C)/P("-B"))
- P(A|"-C"):司会者がCをめくったと知った後の、回答者がAを選択していた確率(=P(A)P("-C"|A)/P("-C"))
- P(B|"-C"):司会者がCをめくったと知った後の、回答者がBを選択していた確率(=P(B)P("-C"|B)/P("-C"))
- P(C|"-C"):司会者がCをめくったと知った後の、回答者がCを選択していた確率(=P(C)P("-C"|C)/P("-C"))
ケース1とケース4はP(A|"-C")を求めた。ケース2とケース5はP(A|"-B")を求めた。そして、ケース3とケース6はP("-C")P(A|"-C")+P("-B")P(A|"-B")を求めた。
司会者がAをめくったと知った後の、回答者がAを選択していた確率P(A|"-A")を含めて、ケース3とケース6の数式を問題文で与えられている確率だけで表現できるように変形してみる。
= P("-A"){P(A)P("-A"|A)/P("-A")} + P("-B"){P(A)P("-B"|A)/P("-B")} + P("-C"){P(A)P("-C"|A)/P("-C")}
= P(A)P("-A"|A) + P(A)P("-B"|A) + P(A)P("-C"|A)
= P(A){P("-A"|A) + P("-B"|A) + P("-C"|A)}
= P(A) (∵P("-A"|A)+P("-B"|A)+P("-C"|A)=1)
すなわち、回答者がカードを選択した後、司会者のめくったカードが判明しない限り、回答者が当たり(A)を選択していた確率は、司会者がカードをめくる前の当たりを選択する確率と変わらないのである。
【モンティ・ホール問題:補足】にも書いたが、司会者のめくったカードが判明したかどうかが重要で、巷に溢れているモンティ・ホール問題の解法では、司会者の開けたドアがハズレのドアの内のどちらであるか判明していないことが前提になっているようである。
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