スミス氏の息子問題

　【モンティ・ホール問題：補足２】に引き続き「モンティ・ホール問題」関連で他のサイトを見ていたら次のような問題を見つけた。

似たような問題をもう一つ。ある人に子供が二人いることがわかっています。二人のうち、一人が男の子だとわかったとき、もう一人が男の子、女の子である確率はどれくらいでしょうか。

「もちろん、50％づつだ」と思う人が多いと思いますが、答えは女の子である確率が3分の2、男の子である確率は3分の1です。二人の子供がいるとき、年上を左、年下を右に書いて、組み合わせを考えると、1）（女、女）2）（女、男）3）（男、女）4）（男、男）です。二人のうち一人が男の子とわかったわけですから、1）はありえません。残った組み合わせは2）、3）、4）ですが、残りの一人も男であるのは4）だけです。したがって、男の子である確率は3分の 1となります。

（ビジネスのための雑学知ったかぶり モンティ・ホール問題）

　間違ってはいないのだが、納得しにくい。2008/6/24のコメントでブログの著者が『結局「なぜ一人が男とわかったか」というときのわかり方がキーになります。』と書いているが、その通りだろう。本文の問題文では「なぜ一人が男とわかったか」が書いてない。その上の2008/6/23のコメントで３人目の通りすがりさんが、ケースＡとケースＢに分けて解説していて、解説は分かりにくいがサンプルが利用しやすいので、私なりに解説してみたい。分かりやすく解説するというよりも、私が納得しやすい形で解説する。その前に、大前提として男の子が産まれる確率と女の子が産まれる確率が等しいとする。

ケースＡ：
二人の子を持つ親に次の質問をしたとします。
「お子さん二人のうち年上の子供は男の子ですか」
ここで親が「はい」と答えた場合
年下の子供が男の子の場合と女の子の場合はそれぞれ５０％です。
（ビジネスのための雑学知ったかぶり モンティ・ホール問題　コメント【2008/06/23 06:30】３人目の通りすがり）

　上の子と下の子の組み合わせは（女、女）（女、男）（男、女）（男、男）の４通りで、上の子が男であるのは（男、女）（男、男）の２通り。両方の確率は等しく、親が「はい」と答える確率も等しいと考えられるので、下の子が男の子である確率は 1/2 で女の子である確率も 1/2。

ケースＢ：
一方、二人の子を持つ親に次の質問をしたとします。
「お子さん二人のうち男の子はいらっしゃいますか」
ここで親が「はい」と答えた場合
もう一人の子供が男の子の確率は1/3で、女の子の確率は2/3です。
（ビジネスのための雑学知ったかぶり モンティ・ホール問題　コメント【2008/06/23 06:30】３人目の通りすがり）

　上の子と下の子の組み合わせは（女、女）（女、男）（男、女）（男、男）の４通りで、男の子がいるのは（女、男）（男、女）（男、男）の３通り。それぞれの確率は等しく、親が「はい」と答える確率も等しいと考えられるので、もう一人の子が男の子である確率（（男、男）である確率）は 1/3 で女の子である確率（（女、男）または（男、女）である確率）は 2/3。

○二人がいる家に電話をしたら、電話を受けた声が男の子の声だった。
　→ケースＡにあたる。「二人のうちの一人が男の子だとわかった」
　　したがって電話に出なかった子供が男の子の可能性は５０％。
（ビジネスのための雑学知ったかぶり モンティ・ホール問題　コメント【2008/06/23 06:30】３人目の通りすがり）

　これは上に引用したケースＡとは少し違う。このブログではケースＣと呼ぶことにする。
　上の子と下の子の組み合わせは（女、女）（女、男）（男、女）（男、男）の４通りで、それぞれの確率は 1/4 で等しい。電話に出る確率は男の子と女の子で同じだとする。また、上の子と下の子でも同じだとする。すると、電話を受けた子が男の子である確率はそれぞれ、0、1/2、1/2、1 である。だから、もう一人の子が男の子である確率（（男、男）である確率）は(1/4)(1)/{(1/4)(0)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1)}と計算して 1/2 になる。
　数式で表現すると次のようになる。

• P(女女) = 1/4
• P(女男) = 1/4
• P(男女) = 1/4
• P(男男) = 1/4
• P(男の子が電話に出る|女女) = 0
• P(男の子が電話に出る|女男) = 1/2
• P(男の子が電話に出る|男女) = 1/2
• P(男の子が電話に出る|男男) = 1

　これら問題文から分かる確率から次のように求める。

　 P(男の子が電話に出る)
＝ P(女女) P(男の子が電話に出る|女女) + P(女男)P(男の子が電話に出る|女男) + P(男女) P(男の子が電話に出る|男女) + P(男男)P(男の子が電話に出る|男男)
＝ (1/4)(0)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1)
＝ 1/2

　 P(男男|男の子が電話に出た)
＝ P(男男)P(男の子が電話に出る|男男)/P(男の子が電話に出る)
＝ (1/4)(1)/(1/2)
＝ 1/2

　ちなみに、ケースＡでは問題文から分かる確率は次のようになる。

• P(女女) = 1/4
• P(女男) = 1/4
• P(男女) = 1/4
• P(男男) = 1/4
• P(「上の子は男の子」|女女) = 0
• P(「上の子は男の子」|女男) = 0
• P(「上の子は男の子」|男女) = 1
• P(「上の子は男の子」|男男) = 1

　これらからP(男男|「上の子は男の子」)を求めると答えは同じ 1/2 になるが、問題を解くために使う確率の値が異なる。

○二人がいる家の玄関先に鯉のぼりが飾ってあった。
　→ケースＢにあたる。「二人のうち、一人は男の子だとわかった」
　　したがってこの家に女の子がいる可能性は６６．７％。
（ビジネスのための雑学知ったかぶり モンティ・ホール問題　コメント【2008/06/23 06:30】３人目の通りすがり）

　これは上に引用したケースＢと同じであるかどうか微妙である。念のためケースＤとしておく。
　同じと言い切れないわけは、次のように考えて良いかどうか微妙だからである。

• P(鯉のぼりが飾ってある|女女) = 0
• P(鯉のぼりが飾ってある|女男) = 1
• P(鯉のぼりが飾ってある|男女) = 1
• P(鯉のぼりが飾ってある|男男) = 1

　このように考えて良いのなら、女の子がいる確率は{(1/4)(1)+(1/4)(1)}/{(1/4)(0)+(1/4)(1)+(1/4)(1)+(1/4)(1)}と計算して 2/3 になる。

　さて、引用したブログの本文には次の問題もある。

最初の問題の形を変えて、黒い石と白い石が同じ数だけ入っている大きな袋から一個づつ石を取り出すことを考えて見ましょう。袋からは2個石を取り出し、2 個づつ小さな袋に入れるとします。2個取り出すときの取り出し方は、（黒、黒）、（黒、白）、（白、黒）、（白、白）の4通りです。ここで、小さな袋の石の少なくとも一つがが黒だったとわかったとしましょう。もう1個の石の色は何色でしょうか。黒の入っている袋は、（黒、白）、（白、黒）、（黒、黒）のどれかの組み合わせですから、白である確率が3分の2、黒である確率は3分の1になるでしょう。
（ビジネスのための雑学知ったかぶり モンティ・ホール問題）

　問題文が分かりにくいが、次のような意味だろう。

　黒い石と白い石が４つの袋に次のように２個ずつ入っている。（黒、黒）（黒、白）（白、黒）（白、白）。（黒、白）と（白、黒）の違いは袋に入れた順番の違いである。これらの袋の一つについて、少なくとも一つが黒だった。その袋に入っているもう一つの石は何色か。

　上に引用したケースＢと同じような問題である。解き方も同じである。
　しかし『小さな袋の石の少なくとも一つがが黒だったとわかったとしましょう』の分かり方が不明だからケースＢのように解けるだけで、次のように一つを取り出して分かった場合は確率が変わる。

　黒い石と白い石が４つの袋に次のように２個ずつ入っている。（黒、黒）（黒、白）（白、黒）（白、白）。（黒、白）と（白、黒）の違いは袋に入れた順番の違いである。これらの袋の一つから石を取り出したら黒だった。その袋に入っているもう一つの石は何色か。

　次のように解く。それぞれの確率の意味は省略する。

• P(黒黒) = 1/4
• P(黒白) = 1/4
• P(白黒) = 1/4
• P(白白) = 1/4
• P(黒を取り出す|黒黒) = 1
• P(黒を取り出す|黒白) = 1/2
• P(黒を取り出す|白黒) = 1/2
• P(黒を取り出す|白白) = 0

　 P(黒を取り出す)
＝ P(黒黒) P(黒を取り出す|黒黒) + P(黒白)P(黒を取り出す|黒白) + P(白黒) P(黒を取り出す|白黒) + P(白白)P(黒を取り出す|白白)
＝ (1/4)(1)+(1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)+(1/4)(0)
＝ 1/2

　 P(黒黒|黒を取り出す)
＝ P(黒黒)P(黒を取り出する|黒黒)/P(黒を取り出す)
＝ (1/4)(1)/(1/2)
＝ 1/2

　もう一つが黒である確率は 1/2 で、白である確率も 1/2 である。
　解き方を含めて、上に引用したケースＣと同じ形ような問題である。

　袋の数を減らして次のような問題だったらどうか。

　黒い石と白い石が３つの袋に次のように２個ずつ入っている。（黒、黒）（黒、白）（白、白）。これらの袋の一つから石を取り出したら黒だった。その袋に入っているもう一つの石は何色か。

　次のように解く。

• P(黒黒) = 1/3
• P(黒白) = 1/3
• P(白白) = 1/3
• P(黒を取り出す|黒黒) = 1
• P(黒を取り出す|黒白) = 1/2
• P(黒を取り出す|白白) = 0

　 P(黒を取り出す)
＝ P(黒黒) P(黒を取り出す|黒黒) + P(黒白)P(黒を取り出す|黒白) + P(白白)P(黒を取り出す|白白)
＝ (1/3)(1)+(1/3)(1/2)+(1/3)(0)
＝ 1/2

　 P(黒黒|黒を取り出す)
＝ P(黒黒)P(黒を取り出する|黒黒)/P(黒を取り出す)
＝ (1/3)(1)/(1/2)
＝ 2/3

　もう一つが黒である確率は 2/3 で、白である確率は 1/3 である。

　実は上に引用したような「二人の子のうち一人の性別が分かった後に、もう一人の子の性別を当てる問題」は『確率の理解を探る―3囚人問題とその周辺』（市川伸一著、共立出版）の第７章に「スミス氏の息子問題」として紹介されていた。

問7.1 スミス氏の息子問題
「スミス氏には２人の子どもがいることがわかっている。街で偶然スミス氏が男の子を連れているのに出会い、彼は、『これは私の息子です』と紹介してくれた。もう１人の子どもが男の子である確率はどれだけだろうか」という問題に対して、２人の数学者が、口をそろえて、「当然、○○に決まっているではないか」と言った。しかし、○○の値は、異なっていた。数学者Ｓは 1/2 と言った。「残りの子どもが男である確率は、ここにいる子の性別とまったく独立だから」というのである。数学者Ｔは 1/3 と言った。「もともとの可能性は、出生順に言うと、男男、男女、女男、女女の４通りで、これらが等確率である。いまや女女ではないことがわかった。残った３通り（男男、男女、女男）のうち、もう１人が男であるのは、男男という場合だけなのだから、1/3 に間違いない」というのである。さて、いったいどちらの答えが正しいのだろうか。
（『確率の理解を探る―3囚人問題とその周辺』市川伸一著、共立出版、100ページ）

　数学者Ｔの答えが正しいように感じてしまうが間違いである。しかし数学者Ｓの答えも納得しにくい。答えは正しいが、その理由が不十分に感じられる。「独立」な理由が分かりにくく、別の問題で間違えそうである。ちなみに、解き方は上に引用したケースＣと同じである。スミス氏の娘ではなく息子と出会う確率は、二人とも男の子の場合は 1 であるが、一方が女の子の場合は 1/2 になる。もちろん、スミス氏が同じ確率で息子と娘を連れて歩くことが前提である。娘よりも息子の方を可愛がっていたら、娘より息子を連れて歩く確率の方が高くなるだろうから、計算し直す必要がある。息子よりも娘の方がスミス氏に懐いていたら、息子よりも娘を連れて歩く確率の方が高くなるだろうから、計算し直す必要がある。

　それにしても、このタイプの問題は面倒で手間がかかる。答えを間違えやすくて困る。答えが正しくても解き方を間違えやすいのも困る。私の解答も、数学の先生に確認したわけではないので間違えているかもしれないし、そもそも数学の先生も間違えやすいだろうから困る。

2023/11/7の追記
　「スミス氏の息子問題」での数学者Ｓの「残りの子どもが男である確率は、ここにいる子の性別とまったく独立だから」に関して、気になったので市川伸一著『確率の理解を探る―3囚人問題とその周辺』で確認してみました。
　数学者Ｔが誤った理由については書かれていましたが、数学者Ｓの誤りは指摘されていませんでした。
　私の理解としては、結果として「ここにいる子の性別は残りの子どもが男である確率に影響を与えていなかった」ので数学的な定義では「独立」であるが、「残りの子どもが男である確率は、ここにいる子の性別とまったく独立だから」と「ここにいる子の性別」が分かったことが「残りの子どもが男である確率」に影響を与えないかのような解き方は誤り（説明が不十分）だと思います。
　次のように解かないといけないと思います。

　問題はスミス氏が男の子を連れているという情報が与えられているため、この情報を考慮に入れる必要があります。そのため、可能性としては以下の3つが考えられます：

1. 男の子と男の子で、スミス氏が男の子を連れている（確率1/4）
2. 男の子と女の子で、スミス氏が男の子を連れている（確率1/8）
3. 女の子と男の子で、スミス氏が男の子を連れている（確率1/8）

　したがって、スミス氏が男の子を連れているという条件の下で、もう1人の子どもが男の子である確率は、男の子と男の子の場合の確率を、3つの可能性の確率の合計で割ったものになります。つまり、(1/4) / ((1/4) + (1/8) + (1/8)) = 1/2 となります。

　ちなみに、数学的な定義では「独立」とは次のような意味らしいです。
　次の等式が成り立てば、事象Aと事象Bが独立であると言うそうです。
　P(A∩B)=P(A)P(B)

　これを踏まえて、
　スミス氏が男の子を連れている(A)確率P(A)は
　P(A)=(1/4) + (1/8) + (1/8)=1/2
　もう一人の子が男の子である(B)確率P(B)（Ａを無視したＢの確率）は、
　P(B)=1/2（＝P(B|A) ∵計算方法は上記の通りで、この時点でＡとＢは独立と分かる）
　P(A)P(B)=(1/2)×(1/2)=1/4
　スミス氏が男の子を連れていてもう一人の子も男の子である確率P(A∩B)は上記1. で
　P(A∩B)=1/4
　結果として、P(A∩B)=P(A)P(B)が成立していて、象Aと事象Bが独立であるということになるようです。
　この「結果として独立である」と理解する方法は納得できませんが、数学的な定義を当てはめて「独立である」とするのなら、そう理解するしかないのかもしれません。

　もし、スミス氏が男の子を連れている事象(A)とＡを無視した状態で残された子が男の子である事象(B)が上記のようにP(A∩B)=P(A)P(B)であることが分かったのならば、事象(A)と事象(B)は独立なので、事象(A)の条件下での事象(B)の確率P(B|A) ＝P(B)であるから、P(B)が1/2なのでP(B|A) ＝1/2と答えることは間違ってないかもしれません。

　さらに、確率論における「独立」には「試行の独立」と「事象の独立」があるそうです。

・やさしく学ぶ統計学～試行と事象とは？～ | 数学・統計教室の和から株式会社
・【高校数学A】事象の独立と従属　P(A∩B)=P(A)P(B) | 受験の月

　上記追記の説明は「事象の独立」の方です。

タグ：モンティ・ホール問題 ３囚人問題 ベイズの定理 確率 認知心理学

コメント 6

わからないことがら、未確定なことがらが
　男の子２人ともの場合は 2/3 で、
　男の子１人の場合は 1/2 になる
ということでしょうか。
逆にいえば、わかっている確定していることがらを掌握できないと確率計算もできないということでしょうか。

本当に繰り返し読んでも難しくてむずかしくて…。

by itochan (2008-08-05 12:03) [id:c18657981] 

itochanさん、コメントありがとうございます。
分かりにくくて済みません。(^^;)
最初の問題文に「二人のうち、一人が男の子だとわかった」と書いてあるのですが、どうして分かったかによって確率が変わってきてしまうのです。それがケースＡ〜ケースＤの違いです。また「スミス氏の息子問題」のような判明の仕方もあります。そして、どうして分かったかが書いてない場合は、「二人のうち、一人が男の子だとわかった」という事実だけを頼りにもう一人の子が男の子である確率を求めます。解き方はケースＢと同じになります。ケースＢは「二人のうち少なくとも一人が男の子かどうか」を尋ねているようなものですから。
ちなみに、「スミス氏の息子問題」の解き方はケースＣと同じになります。
by 正己 (2008-08-05 12:39) [id:c18658567] 

はじめまして。
少しご質問させて頂いてもよろしいでしょうか。
数学者Tの言い分も、数学者Sの解も分かるのですが、数学者Sの言うように「独立」だから１/２と考えて良いのでしょうか。
ベイズの定理で解くと確かに１/２になりますが、これは「独立」だからと単純に考えて良いのか悩んでいます。結果として同じになるのであれば、「独立」だからと考えても良いのかもしれませんが、どうもしっくり来ません。
by Akira (2008-11-18 01:36) [id:c21049034] 

Akiraさん、コメントありがとうございます。
私も数学者Ｓの解法は分かりませんでした。
「残りの子どもが男である確率は、ここにいる子の性別とまったく独立だから」と言える理由が分かりません。例えば、スミス氏が息子と娘を連れて歩く確率が異なっていることを知っていた場合は答えが1/2になりませんが、それでも「まったく独立だから」という理由で1/2と答えるのかどうか、それが引用した「スミス氏の息子問題」では分かりませんでした。
「スミス氏の息子問題」はケースＣのように解いた方が間違えにくいと思います。
by 正己 (2008-11-18 07:35) [id:c21051761] 

はじめまして。だいぶ時間が経っていますが。
最近、中学高校でも確率・統計の扱いが大きくなって、この手の問題がよくとりあげられるように思います。面白い問題なので、いいことだとは思うのですが、ネットや教師の解説は一面的にとらえて１／３を正解としているものが多い中、貴殿の説明は、的を射たものだと思っています。
ところで、数学者Sの「独立だから」という理由ですが、これは、問題を解く時の前提として、すでに使っているものなので、あえて説明していなのではないでしょうか。子どもの性別は、確率１／２の独立試行（コイン投げと同じ）というのが大前提ですよね。これは、自然科学的な事実とも（ほぼ）一致しているので使われているのでは。
by いっつぁん (2023-09-23 12:31) [id:c103315710] 

いっつぁんさん、コメントありがとうございます。
このブログはほとんど見てないので、コメントに気づくのが遅れました。申し訳ありません。
あまりにも昔に書いたので、自分の文章なのに読んでいて理解するのが難しいのですが、数学者Sの「独立だから」の理由は仰る通りコイン投げと同じ独立試行と解釈するのか自然なのだと思います。
ただ、そんな理由で答えを求めちゃってもいいのか？ということで、私は「別の問題で間違えそうである」と書いたのだと思います。たぶん、念頭にあるのはモンティ・ホール問題だと思います。
それで、「解き方は上に引用したケースＣと同じである」と書いてあって、わざわざ面倒な解き方をしてあります。それと、その後に「もちろん、スミス氏が同じ確率で息子と娘を連れて歩くことが前提である」と書いてありますので、その前提が崩れた場合は「独立だから」という理由は不十分かもしれません。時間に余裕がなくて計算できませんがご容赦ください。
そして、数学の話とは離れますが、「スミス氏の息子問題」は今の時代では学校で取り扱うのは問題だと思っています。理由は性別を「男女」の２つに分ける考えが当たり前ではなくなっているからです。だからと言って、それを踏まえて問題を作り直すのも当事者には不快だと思いますので…。性別を使わなくても似た問題は作れるわけですし…。
それにしても、私の記事は短時間で理解するのは難しいですね。そんな文章を読んでくださり、ありがとうございました。
by 正己 (2023-11-07 09:16) [id:c103645708]