学力テストに出たモンティ・ホール問題について

　少し前から【３囚人問題】関連の記事へのアクセスが続いている。【モンティ・ホール問題】関連の記事へのアクセスもある。前回にアセスが集中した時は「ラスベガスをぶっつぶせ」という映画が原因だった。今回は何が原因だろうと思いながら、とりあえずWikipediaを見たら私が変だと思っていた解答が2009年4月27日にごっそり削除されていた。誤解を招く図は残っているが。この時期に何があったのだろうかとネットで調べてみたら、2009年4月21日に所謂「学力テスト」があって、その「中学校第３学年数学Ｂ」でモンティ・ホール問題と同型の問題が出題されていた。問題と解答例と出題意図については【平成２１年度全国学力・学習状況調査の解説資料について】からリンクされたPDFファイルの８１ページ（資料中のページでは８０ページ）に載っているのでそちらで確認してほしい。

　2009年度の中３数学Ｂの学力テストに出題された「賞品当てゲーム」の問題と解答は間違ってはいないと思う。しかし、誤解を招きそうである。問題を改変してみたので、学力テストの問題や解答のように解いて正解できるかどうか確認してみてほしい。「解説資料の一部または全部を無断で転載，複製することを禁じます。」と書いてあって批判のために一部の転載である引用もできない雰囲気なので図中のイラストや問題文の名前などを変えてある。それでも問題があるのなら、後で変える予定。

　挑戦者の前に３つの箱が置かれていて、その１つは、賞品を貰える当たりの玉が入っている当たりの箱です。司会者はどの玉が当たりか知っているのでどの箱が当たりかを知っています。

①挑戦者は、最初に１つの箱を選びます。そこで挑戦者は玉が３個入っている一番左の箱を選びました。
②司会者は、残った２つの箱のうち、はずれの箱を１つ開けて見せます。今回は玉が２つ入っている真ん中の箱を開けて見せました。
③挑戦者は、最初に選んだ箱を「変更する」か「変更しない」かを選択します。今回は玉が１つしか入っていない一番右の箱に「変更する」か「変更しない」かを選択します。

（１）最初から「箱を変更しない」と決めてゲームを行う場合、挑戦者が選んだ一番左の箱が当たりである確率を求めなさい。
（２）結衣さんは、最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行う場合について考えています。

◎最初に選んだ箱が当たりだとする。
　残りの２つははずれだから、司会者がどちらの箱を開けても、残った箱は必ずはずれである。
　だから、箱を変更すると必ずはずれる。
◎最初に選んだ箱がはずれだとする。
　残りの２つの箱は当たりとはずれが１つずつで、司会者はそのうちのはずれの箱を開けるから、残った箱は必ず当たりである。
　だから、箱を変更すると必ず当たる。

　この結衣さんの説明は正しいですか。それとも間違っていますか。
（３）結衣さんは、最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行う方が当たりやすいと予想しました。この結衣さんの予想は正しいですか。それとも間違っていますか。

　（１）の答は、「1/2」と「3/5」である。
　学力テストの問題文には最初から「箱を変更しない」と決めてゲームを行うと①で当たる確率が決まってしまうかのように書いてあるが、②の後に当たりの確率が変化するケースがあることが考慮されていない。単純に「①の時に挑戦者が選んだ一番左の箱が当たりである確率を求めなさい」書いてあったら答は「3/6（=1/2）」である。
　挑戦者が③で箱を変更しなかった場合、挑戦者が選んだ一番左の箱が当たりである確率は「3/5」になる。
　もしも、問題文とは異なり、②で司会者が玉が１つしか入っていない一番右の箱を開けて見せた場合、挑戦者が③で箱を変更しないと、挑戦者が選んだ一番左の箱が当たりである確率は「3/7」になる。

　（２）の答は「正しい」である。

　（３）の答は「間違っている」である。
　学力テストの問題文では（２）の説明から（３）への予想に飛躍がある。だから理論的に計算によって答を求めずに実験を行って確認する問題文にしているのだろう。そもそも学力テストの（１）の問題文が正しくて答が分かっているのなら、（２）（３）は必要ない。「箱を変更する」か「箱を変更しない」しか選択肢がなく、「箱を変更する」場合の確率が分かっているのなら「箱を変更しない」場合の確率は「１」から「箱を変更する」場合の確率を引くだけである。そして、どちらが大きいか比べれば、どちらが当たりやすいかが分かってしまう。
　このエントリーの「変形“賞品当てゲーム”」では、最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行っても「箱を変更しない」と決めてゲームを行っても当たりやすさは変わらないと予想するかもしれない。そもそも問題文で挑戦者が一番左の箱を選んで司会者が真ん中の箱を開けることが決まっているのでゲームにすらならない。それはともかく、上の「変形“賞品当てゲーム”」では「箱を変更する」と決めてゲームを行う場合の当たる確率は「2/5」で「箱を変更しない」と決めてゲームを行った場合の確率「3/5」よりも小さくなって当たりにくくなる。
　もしも、問題文とは異なり、②で司会者が玉が１つしか入っていない一番右の箱を開けて見せた場合、挑戦者が③で箱を変更すると、挑戦者が選び直した真ん中の箱が当たりである確率は「4/7」になって最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行う方が当たりやすくなる。

　ここで、上の②で司会者の開ける箱が真ん中の箱か一番左の箱か分からない状態でゲームを行った場合について考える。
　実は挑戦者が最初に一番左の箱を選んだとき司会者が真ん中の箱を開ける確率は「5/12」である。同じく一番右の箱を開ける確率は「7/12」である。だから、上の②で司会者の開ける箱が真ん中の箱か一番左の箱か分からない状態でゲームを行った場合、最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行うと当たる確率は「(5/12)×(2/5)＋(7/12)×(4/7)＝(1/2)」となって、当たりやすさは変わらない。
　学力テストの問題では、挑戦者が一番左の箱を選んで司会者の開ける箱が真ん中の箱か一番右の箱か分からない場合は最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行う方が当たりやすくなる。

　次に、上の①で挑戦者はどの箱を選んだ方が当たりやすいかを考えてみてほしい。
　実は玉が１つしかない一番右の箱を選んで「箱を変更する」と決めてゲームを行なった方が当たりやすい。司会者が一番左の箱を開けた後の当たる確率は「4/5」で司会者が真ん中の箱を開けた後の当たる確率は「6/7」である。司会者が一番左の箱を開ける確率は「5/12」で真ん中の箱を開ける確率は「7/12」だから、玉が１つしかない一番右の箱を選んで「箱を変更する」と決めてゲームを行なった場合の当たる確率は「5/6」である。

　さらに、上の①で挑戦者がどの箱を選ぶか決めずにゲームに臨んだ場合を考えてみてほしい。もちろん、司会者が開けるはずれの箱も分からない場合についてである。最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行う方が当たりやすく、その確率は「2/3」になるはずである。これが何を意味するか。「変形“賞品当てゲーム”」で玉の数を変えて、それぞれの箱が当たりである確率を変えたら変わるのか変わらないのか。計算した結果を見ると面白いかもしれないし、腹が立つかもしれない。
　ついでに、箱を変更するか変更しないか決めずにゲームに望んで、「1/2」の確率で箱を変更したりしなかった場合には当たる確率はどうなるかを考えてみると良いかもしれない。さらに、どちらかというと箱を変更することが多い場合についても確率を変えて計算してみると良いかもしれない。私は計算する気がないのでコメントを求められても答えられませんので悪しからず。

　ここで述べたことは、Excel97で作った【MontyHall.xls】を使うと確認しやすい。合計2000回の結果を集計できる。
　このエントリーのケースではA,B,Cの「玉の数」の欄（C6,C7,C8）にそれぞれ 3,2,1と入力する。Aが一番左の箱、Cが一番右の箱に相当する。
　「箱選択」の欄（J6）でA,B,Cを選択して、最初から「箱を変更しない」と決めてゲームを行う場合は「再選択率」の欄（J7）に「0」を入力し、最初から「箱を変更する」と決めてゲームを行う場合は「再選択率」の欄に「1」を入力する。
　司会者が一番左の箱を開けた場合の当たりの確率は「K12」と「L12」のセルに、真ん中の箱を開けた場合の当たりの確率は「M12」と「N12」のセルに、一番右の箱を開けた場合の確率は「O12」と「P12」のセルにある。はずれの確率はそれらの下のセルで、当たりの数やはずれの数はそれらのさらに下のセルにある。
　司会者の開ける箱が不明の場合の当たりの確率は「I12」と「J12」のセルにある。はずれの確率はその下、数はそのまた下にある。
　「H12」と「H13」のセルにある確率は「再選択率」の欄（J7）の確率を変えると変化することが確認できる。
　その他の欄の意味については結果やセルに入力された数式を見て想像してほしい。

　以上、久しぶりにモンティ・ホール問題について考察してみた。

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