共謀罪を含む改悪組織犯罪処罰法は
2011.10.16 18:03
A4やB5の紙の長辺を３等分する方法の確認
ＮＨＫＥテレの「すイエんサー」という番組で４月に「定規もな～んにも使わずに、手紙をピッタリ3等分にしたい」というタイトルで、Ａ４やＢ５など日本で使われる一般的な規格の紙の長辺を三つ折りにするテクニックが紹介されていた（参照）。定型郵便の封筒に手紙を入れる時に困っていたので助かった。紹介された方法は公式のサイトにはないが、ブログに記録してくれている人がいる。例えば、『すイエんサーの「定規を使わずに手紙をピッタリ3等分に折る方法」 - お気に入り』。四つ折りにした紙の一つを無視して３等分のための定規を作る方法は何等分にする場合にも応用できて頻繁に使いそうである。理屈は簡単で、三角形の底辺に平行に高さを３等分する線を引けば、その線は斜辺も３等分するので、三つ折りしたい紙の長辺を斜辺にすれば３等分する場所が分かる仕組みである。私は番組を見た後、一番最後に紹介された長辺を３重に丸めて端と端を合わせて印を付ける方法を利用していた。しかし、本当は芳賀の定理を使う方法を利用したかった。利用しなかったのは覚えられなかったからである。説明されても、何故３等分されるか分からなかった。考えずに横着していたからだが、先日、Ａ４の紙が入った封筒が届き、捨てる前に、ふと３等分したくなった。インターネットで調べたら芳賀の定理を使う方法が載っていて、試したら、確かに３等分される。今度は横着せずに、何故３等分されるのか考えてみた。
すイエんサーで紹介されていたのは次の図のような方法である。
図１
長方形ＡＢＣＤの頂点Ｄを対辺ＢＣの中点Ｑに合わせるように折り曲げて、反対の辺ＡＤの中点Ｐが移動した場所Ｒの所で折り曲げれば、あるいは底辺ＤＣがＲの所に来るように折り曲げれば、綺麗に長辺ＡＤ、ＢＣを３等分できる。上の図でＲＨが長辺ＡＤ、ＢＣの1/3になる。
この方法で３等分できる理由を一所懸命考えた結果、芳賀の定理との関連は分からないが、次のようなことだろうと理解した。
図２
計算した結果は後で書くが、頂点Ｄを対辺ＢＣの中点Ｑに合わせた場合の折れ線ＥＦのＥ（長辺ＡＤ側）はＡＰの中点、すなわち、ＡＥは長辺ＡＤの1/4になるらしい。するとＥＰはＥＤの1/3になる。３等分するための定規が作られ、ＤとＱを合わせたことで、ＥＤを移したＥＱにより、短辺ＡＢを３等分する場所が分かるようになる。また、この定規はＥＱを対角線とする長方形の短辺ＥＰを３等分する場所も分かる。上の図のＧＲはＰＱの1/3であり、ＥＧはＥＰの1/3である。ＥＰが紙の長辺ＡＤの1/4だから、ＥＧは1/12となる。これに、長辺ＡＤの1/4であるＡＥを足して、ＡＧは1/3になる。
この方法は、1/3と1/4の差1/12を作るために編み出された方法だろうか。一言で言えば、４等分から３等分を作る方法である。重要なのはＥの位置である。頂点Ｄを対辺ＢＣの中点Ｑに合わせるように折り曲げたら、折れ線と長辺ＡＤの接点Ｅが偶然ＡＤの1/4の位置になったかのようである。これは「長辺で半分に折り曲げた後の短辺と長辺の比が折り曲げる前の短辺と長辺の比に等しい」という紙の寸法の規格（参照）により生じたものらしい。だから、どんな寸法の紙でも可能なわけではないので注意が必要である。
次の図は計算結果をまとめたものである。
（クリックで拡大）
ＤＳの長さは計算できるので、直角三角形ＤＳＥが直角三角形ＤＰＱと相似であることを利用して直角三角形ＤＳＥの斜辺ＤＥの長さを求めた。ＤＥが3/4となり、ＡＥが1/4であることを確認できた。次にＥＲがＥＰを移したものであるため長さが分かるので、直角三角形ＥＧＲが直角三角形ＥＰＱと相似であることを利用してＥＧの長さを求め、1/12であることを確認した。これで上記のように、ＡＧ、すなわちＡＤの中点Ｐが移ったＲの位置の短辺ＡＢからの距離ＲＨが1/3であることを確認した。
実は、上のように解く前に、別の方法でも解いていた。次の図のような解き方である。
（クリックで拡大）
まずはＥの位置の確認である。これは上記と同じように直角三角形ＤＳＥが直角三角形ＤＰＱと相似であることを利用した。次に直角三角形ＧＲＰが直角三角形ＰＱＤと相似であることを利用してＰＧの長さを求めた。直角三角形ＧＲＰの斜辺ＰＲを求めるために二等辺三角形ＥＰＲが二等辺三角形ＥＤＱと相似で辺が1/3であることを利用した。ＰＧが1/6と分かったので、1/2であるＤＰと足してＤＧは2/3、すなわちＡＤの中点Ｐが移ったＲの位置の短辺ＤＣからの距離が2/3で、短辺ＡＢからの距離ＲＨが1/3であることを確認した。
上記のように、すイエんサーで紹介されていた方法でＡ４の紙の長辺をぴったり３等分できることを確認した後に、もっと簡単に折り目の目安となるＲの位置を見つける方法はないものかと、紙をいろいろと折っているうちに、別の方法を見つけた。すイエんサーの補足で紹介されたような気もするが、次の図のような方法である。
図５
長方形ＡＢＣＤの頂点Ｄと対辺ＢＣの中点Ｑを結ぶ線で折り曲げた時に、頂点Ｃの移動した点Ｒが、長辺を３等分するための目印となることが分かった。この方法はすイエんサーで紹介されていた方法と比べて、ＤＱの所に折り目が付きやすく、折り目が付かないように慎重に曲げるとＲの位置が少しずれる欠点があるが、覚えやすく簡単なので、今後は利用するかもしれない。
この方法で正しいことは、次の図のように確認した。
（クリックで拡大）
直角三角形ＣＤＱと直角三角形ＳＣＱと直角三角形ＦＣＲが相似であることを利用して、Ｒの短辺ＤＣからの距離ＣＦを求めて、Ｒの短辺ＡＢからの距離ＢＦが1/3であることを確認した。
以上が、ＮＨＫＥテレの「すイエんサー」という番組で紹介された「手紙を超ピッタリ三つ折りにする方法」について、正しいかどうか計算して確認した結果である。もっと簡単に証明できないか探している間に、丸一日が過ぎてしまった。私の能力の劣化を感じたが、楽しませてもらった。図を作成している最中に、どの三角形を使ったら良いか試行錯誤して何度も修正したので、修正し忘れて誤りがあるかもしれない。見つけた方は教えていただきたい。ところで、芳賀の定理との関連については、疲れたので考察しないことにする。
追記（2011/10/16）：
「芳賀の定理」へのリンクを忘れていたので追記。
読者の反応
コメント 2
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一番下まで読んでくださり、 
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とても魅力的な記事でした！！
また遊びに来ます！！
ありがとうございます。。
by a4封筒の書き方 (2012-03-18 16:24)
a4封筒の書き方さん、コメントをありがとうございました。
by 正己 (2012-03-18 16:55)