A4やB5の紙の長辺を3等分する方法の確認の補足
【A4やB5の紙の長辺を3等分する方法の確認】で私は次のように書いた。
重要なのはEの位置である。頂点Dを対辺BCの中点Qに合わせるように折り曲げたら、折れ線と長辺ADの接点Eが偶然ADの1/4の位置になったかのようである。これは「長辺で半分に折り曲げた後の短辺と長辺の比が折り曲げる前の短辺と長辺の比に等しい」という紙の寸法の規格(参照)により生じたものらしい。
(A4やB5の紙の長辺を3等分する方法の確認)
「Eの位置」とは次の図のEの位置である。
このEの位置がADの1/4の位置になることは証明できる。ただし、引用文のように「長辺で半分に折り曲げた後の短辺と長辺の比が折り曲げる前の短辺と長辺の比に等しい」すなわち「長辺が短辺の倍である」という条件の下である。
下の図のように座標を用いることで容易に証明できる。
長辺が短辺の1/aの紙(短辺が長辺のa倍の紙)を長方形ABCDとし、各頂点の座標をA(0,1)、B(a,1)、C(a,0)、D(0,0)とする。線分ADの中点はP(0,1/2)、線分BCの中点はQ(a,1/2)である。DとQを重ねるように折り曲げた時の折れ線は線分EFで、Eのy座標をbとする。a=の時に b=3/4 になることを証明すれば良い。
直線EFの方程式②は直線DQ(方程式は①)と直角に交わることから傾きが分かり、線分DQの中点S(a/2,1/4)を通ることで求められるので、bは次のようになることがすぐに分かる。
aにを代入すれば、b=3/4 になる。逆に b=3/4 になるのは a=、すなわち長辺が短辺の倍の場合だけである。
次にDをQに重ねることでPが移ったRのy座標が2/3になるためのaの値を確認する。
線分EDが移った線分EQを通る直線の方程式③はE(0,b)、Q(a,1/2)を通ることから求められる。直線PRの方程式④は直線DQと傾きが同じでP(0,1/2)を通ることから求められる。Rの座標は直線EQと直線PRの交点だから「③=④」から求められ、次のようになる。
aにを代入すればRのy座標が2/3になることが分かり、逆にRのy座標が2/3になるのは a=、すなわち長辺が短辺の倍の場合だけであることが分かる。NHKEテレの「すイエんサー」という番組で4月に「定規もな~んにも使わずに、手紙をピッタリ3等分にしたい」というタイトルで紹介された芳賀の定理を応用してA4やB5の紙を三つ折りにする方法は、A4やB5の紙が「長辺が短辺の倍である」という条件を満たしていたから使えたもので、その条件を満たしていなければ使えないことが証明できた。
【A4やB5の紙の長辺を3等分する方法の確認】ではRの場所を求める別の方法も紹介した。
こちらも座標を用いることでRのy座標が2/3であることを容易に証明できる。
線分DQで折り曲げてCが移った位置Rの座標を求める。
直線CRの方程式②は直線DQ(方程式は①)と直角に交わることから傾きが分かり、C(a,0)を通ることから方程式が求められる。ちなみに、a=での直線CRのy切片bは1になり、Aと重なる。
直線CRと直線DQの交点Sの座標は「①=②」から求められ、次のようになる。
Rの座標はSが線分RCの中点であることを利用して求められ、次のようになる。
芳賀の定理を応用する方法と同じ結果である。
a=、すなわち長辺が短辺の倍ならば、Rのy座標は2/3になり、三つ折りの目安にできる。
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